给大壮的信苗炜

给大壮的信数学归纳法

小学五年级时，我大概是班里最聪明的学生。有一天，老师出了一道很难的应用题，班里没有人能做出来，等到放学的时候，我不肯回家，一个人待在教室里苦思冥想，终于解题成功。我穿过操场，到老师的办公室宣布，我做出来了。太阳正下山，校园里有一层金黄色的光泽，那真是智慧闪光的时刻，到现在我都记得。过了一年，我学会了设未知数，小学应用题一下变得简单了。小学的应用题，是要捕住一条不断游动的鱼，想办法靠近它，却不知道路径在哪里，学会设未知数，那个X就清晰地摆在面前。那是一种豁然开朗的快感。
到了高中，学校里的聪明人太多了。有位师兄，自己在家钻研电镀技术，保送清华大学化学系，在校园里做报告。有的同学，参加数学竞赛，拿奖如探囊取物。我曾自以为聪明，却被同学们的智力碾压，于是把兴趣都放在徐志摩身上，数学成绩是倒数的。有一次上数学课，老师在黑板上出了一道题，叫我上去解答。那道题不难，我做出来了，老师说：你们看，连苗炜都能把这道题做出来。全班哄堂大笑，我也跟着笑，并不觉得受到了多大的羞辱。

我的数学成绩糟糕，但也能在学习中得到乐趣。让我印象最深的是数学归纳法，简单来说，一个命题在n等于1的时候成立，假设它在n等于k的时候成立，再看它在n等于k加1时能否成立。这是一种绝妙的推导方法，我说不出来数学归纳法为什么是正确的，但特别喜欢它严丝合缝的逻辑。所谓理性，就是在某几个公理之下，可以推导出一个又一个定理，每一个定理都是可以推导的，这就是世上最讲道理的事情。我在数学归纳法中看到了理性的光芒，我总盼着考试卷子上能有一道题是用数学归纳法证明的，如果有，我就非常高兴，如果没有，我就非常沮丧。我实在太喜欢数学归纳法了。

像我这样没有天分的学生，居然在大学里念了一年数学系，我学了微积分和立体解析几何，会用求导数的方法解决一些高中的数学题，那真是高屋建瓴啊。学一点儿高等数学，再看中学数学课本，就会有一种俯瞰的视角。有一个德国的数学教授，一百年前写过一本书叫《高观点下的初等数学》，是让中学教师以更高的观点来看待中学的数学课，观点越高，事实就显得越简单，实数领域难理解的问题，等你明白了复数是咋回事，回头再看就觉得太简单了。高等数学引入了理解起来稍微困难一点儿的思想，却使真正复杂的难题得以简化，解决起来更容易，这是关于数学的一个悖论，但在别的地方也能碰到这种情景。

我知道，世上有一些极端聪明的人，在求学时期，就能以极高的智力俯瞰他的同学、他的师长乃至世间事，比如凯恩斯，比如维特根斯坦。后来他们的研究，大概也可以说是高观点的经济学和高观点的哲学。有一年我去剑桥采访，专门去拜访了维特根斯坦的墓地，说实话，我看不懂他的书，但知道世上有这样绝顶聪明的人，就会心生敬畏。我不奢望你成为那样的聪明人，但希望你以后在某些地方能用高观点来看待事物，纷繁事物会变得简单一点。还有就是，知道世上诸多领域有许多高明的人，能让我们更谦虚，更爱学习。

我现在还会设未知数，但未必能做出什么应用题了。还记得数学归纳法，也未必能用它证明最简单的命题，微积分更是一点儿不记得了。但是，未知数、数学归纳法、微积分曾经带给我的快乐，还像是不停闪烁的光芒。我希望你的智力生活中充满这样的光芒。这其实非常非常不容易，你要识数，会数一、二、三，然后知道一根香蕉加两根香蕉等于三根香蕉，在小学一年级会学算术，把香蕉忘掉，只管一加二等于三。要用半年的时间学会加减乘除，看到两位数、三位数不再害怕。学上好几年，忽然要用a和b来代替具体的数字进行运算，课程叫作代数了，你就会抽象地看待事物了。你把四则运算都弄明白了，忽然有一天，要学负数了，原来都是三减去一，为什么一还能减去三呢？优秀的数学老师会告诉你结合律、单调律之外，还有一个重要的法则叫“运算恒可进行”，一能减去三，负一还能求平方根呢。学了十年的算术和数学，才知道什么叫虚数，才会知道，一个函数会是一条线，一个方程式是一个马鞍面。这个过程极漫长，得到的乐趣又是极大的，大到能在你内心充盈几十年，就像我现在，还念念不忘数学归纳法。

我希望你得到这样的乐趣，我此生的遗憾就是这样的乐趣得到的太少了，丢弃得太早了。