理性的合理边界(理性的边界人类语言、逻辑与科学的局限性)

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1963年，曾在布鲁克林学院学习的保罗。科恩〈PaulCohen，1934一2007)对这个已有80年历史的问题给出了最终答案。他证明了《假设策梅洛-弗兰克尔集合论是一致的)连续统假设的反面与策梅洛-弗兰克尔集合论的公理相容。这意味着再增加一条声称连续统假设为假的公理，也无法从策梅洛-弗兰殉尔集合论的公理中推导出矛盾。换种说法，存在某种对这些公理的理解方式，令连续统假设为假，的确存在大小严格位于N和〈0,1)之间的集合。哥德尔和科恩的结果说明，连续统假设“独立于”策梅洛-弗兰克尔集合论的公理。这意味着这些公理无法证明或推翻它。我们无法用策梅洛-弗兰克尔集合论或任何其他等价的集合论的公理体系回答这些问题。因为它独立于这些公理，我们无法询问连续统假设究竟为或为假。真的存在一个大小位于N和(0,1)之间的集合吗?连续统假设只是集合论中的众多令人着迷的概念之一。集合论中还有一个更有趣的观点，称为“选择公理”(axiomofchoice)。让我们先用有限集合举一个简单的例子。思考由所有美国公民构成的集合。他们可以分成50个彼此不重合的子集，因为人们生活在

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50个个同的州。筷我们可能会想组成这样一个集合，它拥有这50个子集中每个子集的正好一个元素或代表。构成此集合最简单的方式是将各州州长选作该州的代表。我们还可以选择该州的资深参议员或年纪最大的人。我们可以有许多不同的选择。然而，如果我们要是从茶个无限集合中选出一部分呢?我们还能像这样从每个子集中选择一个元素吗?对于无限集合，事情似乎有一点复业。想象一下，我们面前有一个由无数双鞋子组成的无限集合。《〈对于某些人来说，这将导致无限的喜悦。)我们可能需要从无数双鞋子中的每一双挑选一只鞋子。这很容易做到，总是选择每双鞋子中左脚的鞋子就可以了。当然你还可以选择右脚的鞋子。然而，如采摆在我们面前的是无限多双圆简短袜，而且每一只袜子和它的搭档完全一样呢?我们还能从每双袜子中选择一只吗?哪一只呢?没有任何方法能够描述这种函数。我们会说这样的选择是不可能的。我们将会看到，如宁假设这样的选择总是可以做到，就会导致问题出现。玫选择公理认为，对于任意集合和该集合以任意方式划分而成的非登子集，总是可以用每个子集中的一个元素组成一个集合。这似乎是个相当无关痛痒的要求。对于有

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限集合，选择公理显然是成立的，但是对于无限集合而言，就稍微有些太烦了。这样的集合总是可以组成的，这不是很明显吗?为什么我们不能组成这样的集合呢?在1963年，保多“。科恩指出不仅连续统假设独立于策梅洛-弗兰死尔集合论，束连选择公理也独立于这些公理。也就是说，我们无法用呆梅洛-弗兰死尔集合论证明它是对的或错的。很多数学家认为选择公理足够“不证自明”，应该增添到策梅洛-弗兰克尔集合论的公理中，成为集合论和数学的基础。他们将这甩新的公理体系称为带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论(Zermelo-Fraenkelsettheorywithchoice，人简称ZFC)。它是所有数学领域中最流行的基础体系。而其他数学家更为慎重，对增添选择公理表示担忧。担忧选择公理的主要原因之一是巴拿耕-塔斯基迟论〈Banach-Tarskiparadox)。该迟论说，使用策梅洛-弗兰死尔集合论和选择公理《但不是仅仅使用策梅洛-弗兰克尔集合论)，可以证明下列命题:给出一个任意大小的三维球体，可以将它切成5个非重登的部分，接着拼成两个大小与原来相同的球。〈见图4.10。)

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