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本文选自 丹尼尔·卡尼曼新作《噪声》，扫上面码免费领电子书
高斯提出了一种方法，用于评估单个误差对总体误差的影响。他
在测量总体误差时，使用的是“均方误差” (Mean Squared Error，
MSE) ，即个体误差平方的平均值。
详细探讨高斯对总体误差的测量超出了本书的讨论范畴，而且他
的解决方案并非直观易懂。为什么用均方呢? 这是一个听起来有些奇
怪的概念，但它建立在我们几乎所有的直觉上。
为了乔明白 其中的原因，让我们来看一个看上去似乎完全不同但
其实本质相同的问题。想象一下，你用一把尺子来测量一条线段的长
度，要求精确到毫米，并且你可以测量5次。测量结果分别用图5-3中
指向下方的三角箭头表示。
970 971 972 973 9 978 979 980 (训米)
图5-3 ”对同一线段长度的5次测量结果
正如你看到的，5次测量结果都在971一980毫米这一范围内。那
么，哪一个是对这条线段的最精确测量昵? 一个可能是中位数，即两
个最短的测量结果和两个最长的测量结果之间的那个测量结果，在本
例中为973毫米。另一种可能是算术平均值，通常被称为平均值，在本
例中为975毫米〈图5-3中指向上方的三角箭头) 。你可能倾向于认为
平均值更为精确，你的直觉是对的。平均值包含更多信息，它受测量
次数的影响，而中位数只受顺序的影响。
我们对实现最佳评估这一问题有很清晰的直觉，它与我们关注的
对总体误差的测量关系紧密。它们实际上是同一个问题的两面，因为
最佳评估能够使当前测量的总体误差最小化。因此，如果你赁直觉认
为平均值是最佳测量结果，并且你的直觉没有错的话，那么用于测量总体误差的公式应该能够产生算术平均值，因为算术平均值的误差是
最小的。
均方误差就具有这样的特征，它是唯一能够对总体误差进行测量
的概念。在图5-4中，我们假定线段的真实长度有10个可能的整数值，
进而计算5次测量的均方误差。例如，如果真实值是971毫米，那么5次
测量的误差就分别是0(、1、2、8和9。这些误差的平方之和为150，均
方为30。这是一个很大的数值，表明一些测量值离真实值很远。你会
看到，当测量值接近975 (平均值) 时， 0 下降。随着测量值
远离平均值，均方误差又会逐渐增加。 ，平均值是最佳评估结
果，因为在这种情况下总体误差最小。
上 | 是
8371 872 可 71 去 上 8977 978 5色8 980 【(闻米)
图5-4 10个可能的真实值对应的均方误差
你还会发现，当你的评估值远离平均值时，总体误差会迅速增
加。例如，当你的评估值仅仅增加3毫米，如从976变化到979，均方误
差就会翻倍。这是均方误差的关键特征: 相比于小的误差，平方给大
的误差赋予了更大的权重。
现在你应该明白 了为什么高斯用于测量总体误差的公式被称为均
方误差计算公式，以及这种评估方法为什么被称为最小平方法。对误
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