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本文节选自《理性的边界》电子版：

无限集合大卫。和希尔伯特(DavidHilbert，1862一1943)是他那一代人面最伟大的数学家，他讲过一个有趣的故事。想象一下，你拥有一家客房数量无限多的酒店。我们不妨将它称为“和希尔伯特酒店”。这一天，酒店的生意很好，无限多的客房中的每一间都有客人入住。此时又有一位客人开车前来，他需要一个房间。你不想在一个寒风大作的夜晚把他打发走，但你所有的房间都满了。怎么办呢?和希尔伯特提出了一项建议:打开酒店的广播系统，让无穷多个客人中的每一个都转移到下一个房间里去。于是57号房间的客人转移到58号房间里去，53462号房间的客人转移到53463号房间里去。总而言之，7号房间里的每一名客人都转移到x+1号房间里去。这样就能把1号房间空出来，留给这位深表感激的新客人入住了。让我们继缚走讲述这个故事。正当所有客人都在自己的新房间顿下来，美美地安睡之时，一辆长途汽车停在希尔伯特酒店的门口，车上下来了无限多位旅客，每个人都要求住一个房

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间。人客房中的每一个都已经住了客人，而你急切需要无限多个空房间。位诚实的酒店经理应该怎么办昵?和希尔伯特仍然有好点子:打开你的酒店广播，让每一位客人都换到房间号是他们目前房间号两倍的房间去。也束是说，57号房间的客人换到114号房间去，53462号房间的客人换到106924号房间去。总而言之，7号房间里的每一名客人都转移到22号房间里去。这样一来，所有偶数号房间都会住上人，而所有奇数号房间都会空出来，供乘坐长途汽车而来的疲惫旅人入住。安需要注意的是，这些人花招不适用于那些房间数量有限的无趣标准酒店。只有在房间数量无限的酷炫的希尔伯特酒店里，我们才能随意转移客人，不用担心失去任何客源。在第一个例子中，和希尔伯特真正癌我们指出的是，房间号的无限集合{1,2,3,45,…}和它的真子集{2,3,45,…}存在各项元素一一对应的关系。在第二个例子中，和希尔伯特指出房间号的集合{,2,3,45,…}和它的真子集{2,4,6,8,10

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,…}存在各项元素一一对应的关系。这些违反直觉的奇怪配对关系就是我们将要在本节探讨的内容。与其讲述关于虚构酒店的故事，不如让我们来看一些真正的无限集合吧。无限集合的例子有很多，但这些集合必须不能是物体的集合，因为宇宙中物体的数量是有限的。许多其他概念如数字可以构成无限集合。有很多常见的无限数字集合:@自处数，N={0,1,2,3,…]图整数，Z={…，-3，-2，-1,0,1,2,3,…]国有理数或分数,0=Im/n:m和n属于Z且n不等于0]@@实数，R自然数是所有整数的真子集。每个整数n都可以认为是分数n/1，所以整数可以看成是所有有数的真子集。最后，实数是所有数字的集合，甚至包括那些无法用分数表示的数字。早在2500多年前，人们融知道茶些数字无法写成分数，如/2，e，-工，和Vy5。这样的数字称为“无理数”。人四实数集R包括所有有理数和无理数。所以有理数是实数的真子集。思考偶数集合E={0,2,4,6,…】]。

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