【噪声卡尔曼】差进行平方是其核心思想，其他任何公式都无法与我们的直觉一一平均数是最佳评估值如此契合。

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差进行平方是其核心思想，其他任何公式都无法与我们的直觉一一平
均数是最佳评估值如此契合。

高斯的方法很快得到其他数学家的认可。作为其众多伟大成就之
一，高斯用他的均方误差方法及其他数学创新解决了一大难题一一重
新发现谷神星 〈Ceres) 。在此之前，这颗小行星只在1801年被短暂地
追踪到，之后便消失于太阳眩光中。高斯对这一问题的解决方案优于
当时欧洲最好的天文学家。这些天文学家一直想方设法估算谷神星的
轨道，然而他们测量望远镜误差的方法是错误的，这颗行星根本没有
在他们预测的任何地点附近出现。高斯用最小平方法重新进行了计
算，当天文学家用望远镜对准高斯所预测的地点时，他们发现了谷神
时

不同领域的科学家很快就开始普遍采用最小平方法来评估误差。
两个多世纪过去了，当想要达到准确测量的目标时，最小平方法仍然
是评估误差的标准方法。用平方来赋予误差权重是统计学的核心。在
绝大部分科学领域的应用中，均方误差方法处于绝对优势地位。正如
我们将看到的，这一方法具有极高的应用价值。

单次测量中的误差

偏差

术

噪声误差

Error in a single measurementBias
十

Noisy Error

误差方程: 无论偏差大小如何，减少噪声都有益处

偏差和噪声在误差中的作用很容易概括为两个表达式，我们将其
称为误差方程。第一个误差方程将单次测量中的误差分解为你现在熟
悉的两个部分偏差〈平均误差) 和残留的“吧声误差”。

如果误差比偏差大，那么噪声误差是正的，反之则为负。噪声误
差的平均数为0。这个误差方程并未提供什么新的信息。

第二个误差方程是对均方误差，即我们之前介绍的对总体误差测
量的分解。均方误差可以简单表示为偏差和噪声的平方和。 《回想一
下，噪声是测量的标准差，它与只声误差的标准差相同。)

下面的方程〈两个平方之和) 可能会让你想起一个学生时代常用
的定理一一勾股定理。或许你还记得，在一个直角三角形中，两条直
角边长的平方和等于斜边长的平方。因此，误差方程式就更直观了，
其中均方误差、偏差的平方和噪声的平方类似于直角三角形的三条边
各自的平方。图5-5表明均方误差《黑色方块区域) 的面积等于另外两
个方块区域的面积之和。左图中噪声多于偏差，右图中偏差多于吧
声。然而，两种情况的均方误差是相同的，均方误差的分解方程在这
两种情况下都成立。

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