万物皆数书(万物皆数米卡埃尔 洛奈)

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胃和小于两直角的一侧相交。在这5$个公理之后，是长长的一串经过证明的、无可争议的定理。对于所有这些定理的证明，欧几里得使用的不过是上述的5个公理或者从这5个公理出发证明得出的结论《几何原本》第一卷的最后一个定理是我们的老熟人了一一正是毕达哥拉斯定理。在欧几里得之后，大量的数学家也对“公理的选择”这一问题产生了兴趣。他们中有很多人尤其对欧几里得的第5条公理感到困惑和不安。没错，最后这一条公理的确比前4条看上去复杂得多。有的时候，人们会用一个更简单的陈述代蔡这一条公理，但是最终的结论还是一样的:对于给定的一点和不经过该点的一条直线，我们能且只能画出一条经过该点的该直线的平行线。对于“第

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5条公理”的选择问题，数学家们一直争论到了19世纪，最终，随着新的几何模型的创建，争论终于停止了，因为人们发现，在非欧几何学中，第[]这条公理明显比前4条复杂得多，因此引发了后来数学家们的诸多争论。如下图所示，标注出来的两个角之和小于两个直角之和，相应地，直线1与直线2在这两个内角的一侧相交。5条公理”是不成立的!关于公理的表述还带来另外一个问题，即“定义”的问题。我们所使用的这些词:点、线段、角或者圆，它们又是什么意思呢?如同“证明”所遭遇到的问题一样，定义”的问题也是无穷无尽的。因为“第一个”定义必然是由此前没有定义过的词所表述的。在《几何原本》中，定义是先行于公理的。第一卷开

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篇第一句话就是对“点”的定义。真是很奇怪的表述，但是习惯就好!欧几里得通过这个二起说蜀是“大?下可能部在的几上国医中最小鸭-不我们不可能玩儿“点”的拼图游戏，点是不可切割的，它没有“组成部分\"。1632年,在4几何原本》早期的法语版本之一中，数学家丹尼…亭利翁在他的注释中对“点”的定义做了一定程度的补充，指出点是“没有长度、没有宽度、没有高度”的几何形状。这些“否定式”的定义让人心生怀疑，因为它只说了“什么不是点“，而没有真正地说清楚“点到底是什么”!然而，更“聪明”的家伙们知道如何更好地下定义。在20世纪早期的一些法国教材里，我们有时能找到这样的定义:将一支削080厅牧氏数

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