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似地，如果我们把边长增长至3英尺，其面积将增长至9平方英尺，以此类推。概括起来的规律是明确的:面积将按边长的平方倍数增长。这一关系适用于所有二维几何图形，不仅仅是正方形，只要其形状是国定的，则其所有的线性尺寸都会按照相同的倍数增长。一个简单的例子便是圆形，例如，如果其半径增长一倍，其面积将增长至原来的2X2=4倍。一个更加普遍的例子是，将你的房子的每条线的边长增长一倍，并保持其形状和结构布局不变，比如其墙面和地板等所有平面的面积将增长至原来的4倍。这一论断可以直接从面积延伸到体积。让我们先看一个简单的立方体:如果它的边长增长一倍，从1英尺增长至2英尺，它的体积就将从1立方英尺增长至2英尺X2英尺X2英尺=8立方英尺。同理，如果其边长增长至3英尺，其体积就将增长至3英尺X3英尺X3英尺=27立方英尺。如同面积一样，这同样可以直接概括所有其他物体，无论其形状如何，只要保持固定不变，我们就可以得出结论:如果我们扩大比例，其体积将按照线性尺寸的立方倍数增长。因此，当一个物体的边长增长时，它的体积的增速要远快于面积的增速。让我来举一个简单的例子，如果你把自己家房屋每条线的边长都增长一倍，它的形状不会发生变化，它的体积将增长至原来的23=8倍

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，它的占地面积只会增长至原来的2“=4倍。举一个更加极端的例子，假设每条线都增长至原来的10倍，那么包括地面、墙面和天花板在内的所有平面的面积都将增长至原来的10x10=100倍，而房屋的体积则将增长至原来的10x10x10=1000倍。这对我们周围世界的设计和功能都将产生巨大的影响，无论是我们工作和生活于其中的建筑物，还是自然界中动物和植物的结构。例如，大多数暖气、冷气和光线都分别与暖气片、空调和窗户的表面积存在比例关系。因此，它们的效率增速将远远慢于需要加热、冷却或照明的生活空间的体积。当一座建筑扩大时，其体积也同样会不成比例地增长。同理，对大型动物而言，消耗掉通过新陈代谢和吴体活动所产生的热量可能也会成为一个问题，因为与小型生物相比，消耗热量的号体表面积和体积之间的比例要小得多。例如，大象便进化出了面积不相称的庞大耳朱，通过增加身体表面积消散更多的热量，这才解决了这个挑战。在伽利略之前的许多人可能都兽意识到面积和体积按比例缩放的根本不同。他所贡献出来的新洞见在于将这一几何学上的发现和他的发现结合在一起，即柱梁和肢干的强度是由它们的横截面面积决定的，而不是由它们的长度决定的。因此，假设一根柱子的抑形横截面面积为2英寸x4英寸(

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=8平方英寸)，那么它便可以支撑4倍于横截面边长只有它一半的类似材料制成的柱子所能支撑的重量，而无论这些柱子有多长。第一根柱子可以是4英尺长，第二根柱子可以是7英尺长，这都没有关系。这就是参与建筑的建筑工人人、建筑师、工程师都要根据横截面面积挑选木材的原因，也是家得宝和劳氏公司的木材区在展示木材时要注明“2x2、2x4、4x42\"等尺寸的原因。现在，当我们放大一栋建筑物或一只动物时，其重量也会随着体积的增长而相应增长，前提是其构成材质不能发生变化，以使密度保持一致。因此，体积增长一倍，重量便增长一倍。这样一来，一根柱子或一条腿所能够文撑的重量的增长幅度就要高过强度的增长幅度，因为重量就像体积一样)的增长幅度是线性斥寸的立方倍数，而强度的增长幅度只是线性矿寸的平方倍数。为了强调这一点，假设一栋建筑物或一标树的高度增长至原来的10倍，并保持形状不发生变化，那么需要被支撑的重量就将增长至原来的1000〈103)倍，而支撑建筑物或树的柱子或树干的强度值增长至原来的100〈102)倍。因此，安全文撑额外重量的能力只有此前的10。由此一来，无论是什么组织或结构，如果它的规模太二任意增长，它的自身重量都终将会把它压垮。斥寸和增长都是有限度的。

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