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肥尾效应和正态分布

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比 100 万人更富有 162.5

比 200 万人更富有 1250

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比400万 TU1000

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比 800 万人更富有 14000
比 1 600 万人更富有 116000

比 3 200 万人更富有 12

帕累托分布不存在高阶矩; 这些矩要么不存在，要么在统计上变
得越来越不稳定。下面我们看一个经济学和计量经济学的实证问题。
2009年我选取了55年的金融数据，并尝试观察有多少峰度〈四阶矩的

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函数) 来自最大单一观测值一一如表3. 3所示。对高斯分布来说，同样
的时间长度下最大贡献应当在0. 008士0. 002 8之间。而对标准普尔500

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指数来说，这个值是79%。这也说明，我们对证券回报率的峰度一无所
知。它的样本误差非常大，或者分布的实际峰度可能不存在，因此测
量高度依赖于样本。如果对四阶矩一无所知，那么我们对二阶矩的稳
定性也一无所知。这意味着，即便方差存在，我们所处的分布也不多
许我们处理方差。科学研究很困难，量化金融同样不易。表 3.3 在金融数据中，单个观测值砚献的峰度

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证券 Max D 年数

094 46

079 56

079 26

075 17

074 31

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072 23

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富时指数 10.54 25

日本国信 1048 24

砍洲美元 1 个月存款利率 031 19
白糖 03 8

日元 027 38

巴西铺维斯由指数 027 16
欧洲美元 3 个月存款利率 1025 28
CT 025 48

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德国DAX 指数 02 18

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对于白银，过去46年来94%的峰度是由单日贡献的，因此，我们在
金融数据上根本无法使用标准统计模型。GARCH波动率模型不成立，
为平方项的方差类似于四阶矩。但即便不了解方差，我们也可以很轻
松地处理帕累托分布。虽然帕累托分布给出的信息更少，但在增加变
量或变量无限时会更加严谭。

表3. 3中的金融数据直接揭露了现有大学教材存在的问题，很多采
用方差的计量经济学模型都被忽略了。这也解释了为什么经济学家无
法预测未来一一他们采用了错误的方法并构建了错误的置信区间，他
们的理论在样本内成立，但在样本外会失效一一因为样本是有限的，样本的矩也是有限的。如果实际分布的方差《或峰度) 是无限的，我
们在有限的样本内就永远不会得到无限值。

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主成分分析〈PCA) 〈见图3. 26) 是一种对较大数据降维的方法，
在薄尾分布中非常有效〈至少有时有效) 。在数据量不足的时候，其
结构并不那么可靠，当我们增加数据量的时候《〈几个变量) ，其结构
开始变得扁平〈在尤爹。维格纳之后被称为随机变量的“维格纳效

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应”，这里不要把它与维格纳关于辐射下原子错位的发现摘混了) 。
在我们的模拟实验中，数据之间的相关性为0，也即不存在相关结构，
各个主成分应该完全相等〈当数据量变大时应该趋近) ，但是在小样
本效应的持续作用下，排序后的主成分还是呈现出下降的特征。对厚
尾分布来说〈下半部分) ，我们需要更多的数据来排除伪相关性，
此，降维法并不适用于厚尾。

om 图3.26 ，厚尾条件下的伪主成分

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几 分析: 坦特卡罗模拟实验显示了
os 伪相关性在厚必条件下要严重得
多。上半部分是由 30 个不相关
on 的高其分布随机变量求得的主成
村 分 (ns=100 和1000)。下半部分
as 是30个稳定分布随机变呈 (必

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W mn 部<了， 对称参数=1 ，中心
机 参数凡-= 0，离散参数=1 ) 的
] 主成分，两者都基于不相关的独
0 立同分布随机变量。我们可以清
二 甘地看到，高斯分布的 PCA 结构
| 贿着样本量 ”的增长迅速记平化
(不同成分之间的差异缩小)，但
2ooo| 是在厚必条件下，这样的户平化
- 并未出现。

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