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《4) NM竞赛: M4-M6竞赛分数比布里尔分数更适用于现实世界中的
本章附录展示了不同收益的精确分布和数学性质，以及测试置信
度和样本充足性的布里尔分数。

证
1

图11.1 [la]中搞壕的“和型行为借式”， 认为人们的决

率事件。核心内容见1977年和1978年的文献[1521i153] 。 我们注意
计:。 《1 对洪水飓风、食物中毒等旺尾事件，大家将其计久

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生生二02) 梳们计丰在 兰不少爹作考讶在人应

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.册]研究章节。11.1 连续vs离散分布: 定义和评述
例11.1 [我们没法吃到观点和《二元) 预测]

在不确定性系列的第一部中〈《随机漫步的傻瓜》，
2001[226] ) ，背景叙述者《〈某交易员) 被上司问道, “你预测市场是
上涨还是下跌? ”“上涨! ”他自信地回答。然后上司非常生气地发
现，在公司的仓位暴露中这名交易员在做空市场〈会从市场下跌中受

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益) 。

交易员发现很难向老板解释清楚这样做其实并不矛盾，因为某人

可以从二元的角度相信市场向上的概率大于向下的概率，但是如果下
跌，大幅下跌的概率会非常低。所以，实际上空头仓位对应正期望回
报，理性选择是做空市场。按照交易员的说法，“你吃到的不是预
测，而是到亏”或者“你没法把预测货币化”) 。

如果观点和仓位暴露不在一个方向上，那是因为观点是高维决策
降维表达的结果。如果从决策论的视角审视上司所犯的错误，他实际
上混淆了二元事件〈0阶矩) 或事件概率和对应的期望收益〈一阶算
以及非线性时的高阶矩) ，两者的收益函数有时可能类似，但也可能
完全不同。

评论11.1

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简单来说，概率校准需要我们估计零阶矩，而现实世界需要我们
估计各阶矩《除了赌博下注或心理学实验，在这种人工环境中，收益函数被压缩了) 。而且肥尾的核心性质是高阶矩呈爆炸式增长《甚至
无穷大) ，同时权重越来越高。

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11.1.1 与描述的差异

上面交易员的例子在数学上比较简单〈虽然这样的错误经常发
生) 。当收益函数非线性〈与高阶矩相关) 或更为复杂时会遇到更大
的问题，比如在决策和风险管理领域。我们一旦不用文字描述，在数
学上将其转化为合约或仓位暴露，就会出现一系列严重的分布问题。

定义11.1《〈事件)

实数随机变量X: 2一疏， 定义于概率空间(Q,F, P) ，X(o ) 是结

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果wE 9的函数。事件定义为8 内的可测子集 (可数或不可数) ，可
测量的意思是，可以通过随机变量中的值来定义。

定义11. 2 (二元预测/收益)

二元预测〈观点或收益) 是取两个可能值的随机变量，

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DEREO]
其中局,2 ER
也就是说，结果存在于二元集合中，比如{0, 1} {-1, 1} ，或者某事
件会发生/不会发生。假如有收益，收益也会被映射到二元空间中《〈如

果事件发生为某固定值，不发生为另一个值) 。除非另有说明，和否则
在本章讨论中我们默认使用{0, 1集合。

现实世界中收益二元的情况有，

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