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由于在肥尾条件下高阶矩会增大，尽管不一定是低阶矩，所以我
们可以在仅增加肥尾性〈通过四阶矩) 的同时保持低阶矩〈前2至3个

阶矩) 不变。区1
4.1.1 固定方差的增厚尾部方法

通过“随机化”方差的方式，我们可以保持分布的B(x]不变并
增加了(%*]。因为B(X\"]是对样配(如方差的估计，B(X)平移等同
于BO -BCX3)P)，所以在大部分时间里，我们可以直接研究卫( 2)
。 本章后面几小节会以更严说的方式进行“随机化”。

为了直观理解，一个有效的方法是模拟均值为0的随机变量，然后
通过固定方差的方法增厚尾部:假设随机变量以记= 的网请中

(0,aVI一Op =了的了请中WoVITa)， 这时

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，

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0过aC<1l。

其特征函数加如下，

1 -0raiac

WO-5e 作二ee (4.1)

奇数阶和矩均为0，二阶和矩保持不变，
1(2)=(-让62g(b=ca (4.2)
四阶和矩:

Mf(和=(- 人=3(o2+)a (43)根据传统的峰度计算，该分布的峰度为3 (a2+1) (这里为了和高斯
分布进行对比，不删除3) 。这意味着，我们可以从样本峰度反推a的

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值。这里的a可以被视为随机波动率参数〈或Vvol ) 的平均偏差。

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简单方法的局限性 上面的方法有助于我们建立基本的理解，但
是应用空间有限，因为该方法最多只能将峰度提升到高斯分布的两
倍，所以更适合用来做教学示例以帮助大家理解凸性效应。在4.1.2
中，我们会介绍一种更复杂的技术方法。

评论4: 尖峰

如图4 4所示: 肥尾对应尖峰，即观测值会以更高的密度聚集在
分布中心。

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这一点经常被人们误解。

.[2]“波动率”是一个量化术语，表示标准差，但“随机波动率”表示

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的一般是随机方差。

.[3引这样的跳跃过程可以被简单地建模为一种方差极低、均值极高的高
斯分布状态〈且该状态的发生概率很小) ，因此从理论上说，泊松跳
跃也是混合高斯过程。

.[纪重复一下之前章节的说明，我们会把“肥尾”和“厚尾” 分开，前
者一般表示索律分布，而后者表示亚指数分布。当提到“肥尾”的时
候，人们一般指的是峰度超过高斯分布，但有时分布的峰度甚至都不

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存在。我们的定义更贴近肥尾的实际应用，比如本章提到的，期权交
易员就经常进行“增厚尾部”的操作。.加]注意，当均值为0时，特征函数和和矩量母函数相等，该性质在后面
偏数学的章节中有更多应用。

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