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5.2 圭律的性质
核心性质有两个。

5.2.1 变量求和

性质1: 变量求和的尾部指数

假设Xi, X2…X为非独立非同分布随机变量，其中每个Xi都服从
某个渐进尾部指数为 qi的分布〈我们假定在索律分布类之外，分布
的渐进alpha均为fce ) ，后面我们主要观察分布的右尾〈左尾也类
似) ，详情见[99] 。

考虑对上壕变量加权求和一 >》 CO 克 加权权重

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(无限大) 的随机变量，整体变量和的均值、方差或高阶矩就为无限

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大

法则5. 1 “〈守律尾+薄尾=寡律尾)

无论如何组合，将蝴律尾随机变量和薄尾变量混合都会得到索律
尾变量。5.2.2 变换

第二个性质看上去没什么，但实际上会带来一些麻烦。

性质2

假设X为尾部指数 q 的随机变量， 变生守的尾部指数为 。

该性质告诉我们，一个尾部指数小于4的随机变量〈方差有限) ，
其方差的方差是无穷大的，我们可以看到，它给随机波动率模型带来

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了挑战，真实世界的过程很有可能是无限方差的。

也给我们一个启示，无须计算就可以想象，对一个随机变量进
行凸变换可以增厚尾部。

证明 一般化的证明方法如下，假设p(. ) 为概率密度函数，且
中《. )为某种变换函数〈带有一些限制条件) 。我们可以得到变量变换
之后的分布〈假设定义域保持不变) :

oO

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少(和CO]

假设对一个很大的1，取x>1《〈比如缓变函数中zx“停止变化”的
位置) ，该类x的PDF可以被写为p(x) =<Kx-\" 1，这时考虑
有吊 的=5 汪=鸡

(S.8)

2人8(5])=

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