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3.4.2 大数定律

下面我们来讨论大数定律，作为统计学的基础，大数定律告诉我
们，当增加观测值时，样本均值会逐渐变得稳定，收敛速率约为 /7
。图3.8显示，在肥尾分布下，均值要趋于稳定需要更多的观察值。

“等价”并不简单。

极端斯坦下收益远胜于概率

为了考量平均斯坦和极端斯坦之间的差异，我们以飞机失事为
例。假设100一400人在事件中丧生〈令人痛心) ，也即一个独立的
负面事件，对预测和风险管理来说，我们会尽可能最小化此类风

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险，使其可以忽略不计。

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接下来，我们考虑一种特殊的飞机失事事件，该事件会杀死所
有乘坐飞机的人，包括所有过去乘坐过飞机的人。那么这还是同一
类型的事件吗? 后者属于极端斯坦，而对于这样的事件，我们不考
虑概率，而是关注其影响。

* 对于第一种类型的事件，管理者主要考虑降低其发生概率
一一事件的发生频率。这里我们会数发生的次数，并尝试减少。

* 对于第二种类型的事件，主要在于降低事件发生时造成的影
响。这时我们不计算概率，而是衡量其影响。如果觉得上述实验有些奇怪，你可以考虑一下1982年美国央行
在危机中失去了之前历史上赚到的所有钱，存贷行业〈现在已经不
复存在) 也出现过同样的事情，银行系统在2008一2009年赔掉了之
前所有的利润。我们会经常看到，某人在单次市场事件中赔掉之前

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的所有积蓄。而同样的事情会在很多行业发生，如汽车业和航空
业。

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上面的银行仅仅和钱有关，对于战争，我们就无法只关注频率
而不考虑其量级了，正如科普作家斯蒂芬，平克所说[194] ，第十六
章会讨论这一点。这里还不考虑本节末尾提到的破产问题〈和非遍
历性) 。更严格地说，如果想让原始的概率值有意义，我们就要让
一系列事件满足非亚指数的克拉默条件。上述类比是本书作者和极
富洞察力的拉斯。罗伯特在一次经济学讨论的播客中提出的。

在统计现象中，最知名的是帕累托分布《即80/20法则) ，如20%
的意大利人拥有80%的土地。表3. 1显示，在高斯分布下需要取30个观
测值才能使均值达到稳定的区间，而在帕累托分布下需要102个观测

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值才能使误差达到同样的水平〈假设均值存在) 。

尽管上述计算并不复杂，却很少有人从这个角度去思考。在估计

厚尾分布均值的时候，我们并不能表明其稳定性。还有其他的办法可
以做到这一点，但肯定不是通过对样本的观察。图3. 14 ， 人生的核心是收益而非概率，在极端斯坦下，两者的差异尤其明
显。[图中为什么是“Gab ish”而不是“capisce”? Gabish是Siculo-
Galabrez (Calabrese) 的发音，
米特语的kof，布匿语的K。就像capicoli是“gabagool”。]

表3.1 相应的n，也即多少观测值可以使误差落到等价 稳定分布
的均值附近【〈第八章会进一步讨论该测度) 。高斯分布的情况对应
a =2，对于尾部等同于80/20法则的分布，我们至少需要比高斯分布多

“p”过去听起来像“b”，

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